MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor de varios números a, b, c, etc., es el número más grande que es divisor de todos esos números. Se escribe M.C.D.

El proceso se realiza descomponiendo los números por sus divisores, todos los números al mismo tiempo y con los mismo divisores. Hasta llegar a 1 o encontrar un número primo o no se pueda seguir descomponiendo los números con el mismo divisor.

Por ejemplo

Ejemplo 1:

Hallar el Máximo común divisor de los 120, 360 y 600

El M.C.D (120, 360, 600) = 5 x 2 x 2 x 2 x3 =120

Ejemplo 2:

Hallar el M.C. D. (810, 1026, 1458)

El M.C.D. (810, 1026, 14558) = 2 x 3 x 3x 3 = 54

Problemas de aplicación

Ejemplo 1:

Tengo una colección de 30 minerales, guardados cada uno en una cajita cuadrada, todas iguales. Deseo poner esas cajitas en exposición de manera que formen un rectángulo completo. ¿De cuántas maneras lo puedo hacer? ¿Cuál es la disposición que más se parece a un cuadrado?

Los divisores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 Puedo poner las cajitas en rectángulos de las siguientes maneras: 1x30 o 30x1 2x15 o 15x2 3x10 o 10x3 5x6 o 6x5

 

Ejemplo 2:

Tengo cuentas de colores para formar collares, hay 120 azules, 160 rojas y 200 blancas. Quiero montar collares lo más grandes que sea posible, cada collar con el mismo número de cuentas sin que sobren y sin mezclar colores. ¿Cuántas cuentas debo emplear en cada collar? ¿Cuántos collares puedo hacer de cada color?

Se calcula el M.C. D de 120, 160 y 200

El M.C. D (120, 160, 200) = 5 x 2 x 2 x 2 =40

Cada collar debe tener 40 cuentas.  Y se pueden hacer

120 ÷ 40 = 3 Tres collares azules

160 ÷ 40 = 4 Cuatro collares rojos

200 ÷ 40 = 5 Cinco collares blancos

taller 4

1.    Hallar el M.C.D. de los siguientes números

a.       12, 36,72

b.       960,768, 1728

c.       896, 2432,3456

d.       1260, 900,2520, 3420

e.       450, 3600, 2700, 5830, 8100

2.    Resolver las siguientes situaciones

a.       En la tienda de Manuel hay una caja con 12 naranjas y otra con 18 peras. Manuel quiere distribuir las frutas en cajas más pequeñas de forma que:

·         todas las cajas tienen el mismo número de frutas,

·         cada caja sólo puede tener peras o naranjas y

·         las cajas deben ser lo más grande posible.

¿Cuántas frutas debe haber en cada caja?

b.       Carolina quiere coser una colcha collage con retales de tela cuadrados del mayor tamaño posible. Si la colcha tiene que medir 180cm de alto y 100cm de ancho, ¿cuánto deben medir los retales? ¿Cuántos retales tiene que recortar para coser la cocha?

 

c.       Roberto quiere cortar dos listones de madera en partes iguales para enrollarlos en plástico y guardarlos. Pero quiere cortarlos lo más largo posible para no desaprovecharlos. Si los listones miden 246cm y 328cm, ¿cuánto deben medir los trozos?

d.       A María le han regalado 15 rosas rojas y 21 gardenias y quiere colocarlas en floreros en varias estancias de su casa de modo que cada florero tenga el mismo número de rosas y el mismo número de gardenias y que éstos sean el máximo posible. ¿Cuántos floreros necesita Mariola? ¿Cuántas flores de cada tipo debe poner en cada florero?

e.       Daniel va a construir un prisma rectangular de dimensiones 60x12x18 cm (altura, anchura y profundidad) con cubos iguales y con volumen máximo. ¿Cuántos cubos tiene que comprar Daniel y con qué dimensiones?

f.        Carlos dispone de dos listones de madera iguales, pero de longitudes 150150 y 175175 centímetros. Si tiene que cortarlos en trozos iguales de forma que tenga el máximo número posible de trozos, ¿Cuántos trozos debe cortar y cuánto deben medir?

g.       Antonio tiene 7070 kg de cemento y 240240 kg de arena y quiere preparar sacos iguales con la misma proporción de cemento y arena para guardarlos en el trastero, pero desea comprar el mínimo número posible de sacos. ¿Cuántos sacos debe comprar?

h.       Hugo quiere renovar el suelo de su habitación rectangular de dimensiones 3,6×2,4 m3,6×2,4 m utilizando baldosas cuadradas de cerámica lo más grande posible. ¿De qué tamaño y cuántas baldosas necesita Hugo?

i.         En la casa de María hay una gran afición por la literatura y disponen de un total de 300 novelas históricas, 90 novelas clásicas, 6 novelas policíacas y 180 novelas románticas. María ha pensado en hacer montones iguales de libros con los cuatro estilos para colocarlos en estanterías distintas. ¿Cuál es el mayor número de montones que puede hacer y de cuántas novelas?

taller 5

Resolver las siguientes situaciones

a.       Ana viene a la biblioteca del instituto, abierta todos los días, incluso festivos, cada 4 días y Juan, cada 6 días. Si han coincidido hoy. ¿Dentro de cuántos días vuelven a coincidir?

b.        María y Jorge tienen 30 bolas blancas, 27 azules y 42 rojas y quieren hacer el mayor número posible de hileras iguales. ¿Cuántas hileras pueden hacer?

c.       Un ebanista quiere cortar una plancha de 10 dm de largo y 6 de ancho, en cuadrados lo más grandes posibles y cuyo lado sea un número entero de decímetros. ¿Cuál debe ser la longitud del lado?

d.       La alarma de un reloj suena cada 9 minutos, otro cada 21 minutos. Si acaban de coincidir los tres dando la señal. ¿Cuánto tiempo pasará para que los tres vuelvan a coincidir?

e.       Alan y Pedro comen en la misma taquería, pero Alan asiste cada 20 días y Pedro cada 38. ¿Cuándo volverán a encontrarse?

f.        David tiene 24 dulces para repartir y Fernando tiene 18. Si desean regalar los dulces a sus respectivos familiares de modo que todos tengan la misma cantidad y que sea la mayor posible, ¿Cuántos dulces repartirán a cada persona? ¿a cuántos familiares regalará dulces cada uno de ellos?

g.       Andrés tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá?

h.       En un vecindario, un camión de helados pasa cada 8 días y un food truck pasa cada dos semanas. Se sabe que 15 días atrás ambos vehículos pasaron en el mismo día.

i.         Raúl cree que dentro de un mes los vehículos volverán a encontrarse y Oscar cree esto ocurrirá dentro de dos semanas. ¿Quién está en lo cierto?

j.         En una banda compuesta por un baterista, un guitarrista, un bajista y un saxofonista, el baterista toca en lapsos de 8 tiempos, el guitarrista en 12 tiempos, el bajista en 6 tiempos y el saxofonista en 16 tiempos. Si todos empiezan al mismo tiempo, ¿en cuántos tiempos sus periodos volverán a iniciar al mismo tiempo?

k.       Simón tiene una pista de carreras con dos autos. El primer auto le da una vuelta completa a la pista en 31 segundos y el segundo lo hace en 17 segundos. Carlos también tiene su pista de carreras con dos autos, pero el primero da una vuelta completa en 36 segundos y el segundo en 42 segundos. Como Carlos siempre pierde cuando juegan, propone a Simón que el ganador sea quien tenga en su pista sus dos autos situados en la meta al mismo tiempo. ¿Quién ganará?

l.         Máximo quiere pintar una casa pequeña. Según sus cálculos, necesitará 12 litros de pintura roja, 24 litros de pintura verde y 16 litros de pintura blanca. Pero quiere comprar botes de pintura que tengan la misma cantidad de litros y que el número de botes sea el menor posible, ¿de cuántos litros debe ser cada bote y cuántos botes de cada color debe comprar Máximo?

m.     Un sitio turístico en el Caribe ofrece tres diferentes cruceros: uno tarda 6 días en ir y regresar a su punto de inicio, el segundo tarda 8 días y el tercero tarda 10 días. Si los tres cruceros partieron al mismo tiempo hace 39 días, ¿cuántos días faltan para que vuelvan a partir el mismo día todos los cruceros?

n.       Daniel y Matías compraron 40 y 32 caramelos, respectivamente, para una fiesta de cumpleaños. Quieren repartirlos entre todos los invitados de modo que cada uno da el mismo número de caramelos a cada persona, pero que todos los invitados tengan el mismo número de caramelos y sea máximo. Calcular el número máximo de invitados que deben asistir para que ninguno se quede sin caramelos.

o.       Juan, Paul, David y Andrea van a correr a un parque todos los días. Juan le da una vuelta al parque en 2 minutos, Paul le da 3 vueltas al parque en 7 minutos con 30 segundos, David le da 4 vueltas en 9 minutos con 20 segundos y Andrea le da 2 vueltas al parque en 4 minutos con 20 segundos. Si todos parten al mismo tiempo y del mismo lugar, contestar:

·         ¿Quién es el más y el menos veloz?

·         ¿Cuánto tardarían en encontrarse todos en el punto de partida?

p.       Un acuario pequeño se quedó en bancarrota, por lo que otros acuarios van a comprar los peces que tienen. En total, se venderán 48 peces payaso, 60 peces globo, 36 tiburones bebés, 24 pulpos y 72 peces león. Para la venta, se desea que los contenedores sean del mismo tamaño y que alberguen la mayor cantidad de animales posible. Además, en cada contenedor sólo puede haber peces de una única especie. ¿Cuántos peces debe haber por contenedor y cuántos contenedores se necesitan para cada especie?

q.       Una empresa pequeña que vende leche cuenta con tres sucursales: una en el norte, una en el sur y una en el este. Sabemos que la sucursal del norte produce 300 botellas de leche diarios, la del sur produce 240 y la del este produce 360. Se quieren transportar estas botellas de leche en camionetas que lleven el mismo número de botellas, pero que sea el mayor número de botellas posible. ¿Cuántas botellas de leche debe transportar cada camioneta?

r.        Una tienda compra memorias USB de diferentes colores al por mayor. Para Navidad hizo un pedido extraordinario de 84 memorias rojas, 196 azules y 252 verdes. Para guardar la mercancía de forma organizada, exigió que le enviaran las memorias en cajas iguales, sin mezclar los colores y conteniendo el mayor número posible de memorias. Si se cumplen las exigencias de la tienda, ¿cuántas memorias habrá en cada caja y cuántas cajas de cada color habrá?

s.        Un estudiante de Astronomía sabe que Venus le da la vuelta al Sol en 225 días y Marte en 687 días. Si sabe que la última vez que Venus, Tierra y Marte se alinearon fue hace 1805645 días, ¿en cuánto tiempo se volverán a alinear los 3 planetas en el mismo punto?

t.        Jaime tiene una compañía que fabrica instrumentos musicales y tiene que suplir un pedido de 320 guitarras para la tienda A, 240 bajos para la tienda B, 400 saxofones para la tienda C y 160 teclados para la tienda D. Si Jaime decide utilizar camiones cargados con la misma cantidad de instrumentos, pero que sea la máxima posible para optimizar el tiempo, ¿Cuántos camiones debe enviar a cada tienda?

u.       Marcos quiere instalar en su jardín tres diferentes tomas de agua automáticas para regar. La primera toma se abrirá cada 6 horas, la segunda lo hará cada 8 horas y la tercera, cada 14 horas. Si la primera vez que inicia el contador es al mediodía, ¿Cuántas veces al mes empezarán todas las tomas a regar al mismo tiempo?

v.       Una empresa mexicana que fabrica celulares debe enviar un pedido de un millón de celulares a Europa. Esta empresa cuenta con cinco modelos de celulares: A1, A2, A3, A4 y A5. El pedido se especifica en la siguiente tabla:
El pedido se realiza en lotes con la misma cantidad de celulares y separados por modelo. Si se desea que la cantidad de lotes sea la mínima posible, ¿Cuántos lotes de cada modelo debe haber?

w.     Una empresa internacional de dispositivos tecnológicos posee sucursales en España, Argentina y México. Cuando el sistema operativo de una de las sucursales se reinicia, todas sus computadoras dejan de funcionar durante un tiempo y sus tareas deben llevarse a cabo por las otras dos sucursales. Para evitar males mayores, los ingenieros de la empresa establecen que los sistemas deben reiniciarse cada cierto tiempo según indica la siguiente tabla: Calcular cuántas veces los tres sistemas se reinician en el mismo día durante un período de 30 años.

y.       Una aerolínea que parte de Alemania lleva pasajeros a todo el mundo. Su sistema de compra de boletos proporcionó los siguientes resultados:

Se desea el mayor número de personas por avión y que todos los aviones tengan la misma capacidad. Calcular:

·         Cuántos pasajeros habrá por avión.

·         Cuántos aviones volarán a cada país.

·         Cuántos aviones volarán en total.

z.       Pablo está trazando los planos de un proyecto de mecánica sobre una hoja de dimensiones 56cm x 104cm. Necesita dibujar una cuadrícula de modo que:

• La cuadrícula está formada por cuadrados iguales (todos los lados iguales).
• El tamaño de los cuadrados debe ser máximo.
• La longitud en centímetros de los lados del cuadrado debe ser un número natural, es decir, sin decimales. Calcular el número total de cuadrados que debe tener la cuadrícula

FECHA DE DENTREGRA 7 DE MAYO

 

Mínimo común múltiplo

 El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.

 Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números, por ejemplo, m.c.m. (30, 45), se siguen estos pasos:

1.° Se descompone cada número en producto de factores primos.

2.° El producto de estos factores comunes elevados al mayor exponente y de los no comunes es el mínimo común múltiplo de los números dados.

 30 = 2 x 3 x 5

45 = 3 x 3 x5

m.c.m. (30,45) = 2 x 3 x 3x 5 = 90

 

otra manera de hacerlo es descomponiendo los números al mismo tiempo

Problemas de aplicación

Ejemplo 1

Estas ruedas dentadas forman un engranaje. ¿Cuántos dientes de cada rueda deben pasar para que vuelvan a coincidir los puntos señalados en color verde? ¿Cuántas vueltas habrá dado cada una de las ruedas?

Calculamos el mínimo común múltiplo de 8 y 12

 

 

 Los puntos verdes volverán a coincidir cuando hayan pasado 24 dientes.

El engranaje azul debe dar 24 ÷ 12 = 2 vueltas

El engranaje rojo debe dar 24 ÷ 8= 3 vueltas

Ejemplo 2:

En el aeropuerto de México sale un avión a Madrid cada 30 minutos, uno a Bogotá cada 20 minutos y otro a Lima cada 50 minutos. Si a las 00:00h comienza la programación de los vuelos,

·         ¿a qué hora del día despegan 3 aviones al mismo tiempo con destino distinto?

·         ¿cuántas veces al día se da la misma situación (hasta las 24:00h)?

Hallar el m.c.m de 30, 20 y 50

m.c.m (20,30,50) = 5x2x2x3x5 = 300

Cada 300 minutos despegan los tres aviones con diferente destinos, es decir que pasan 5 horas, las horas en las que despegan los tres aviones son: 5:00 a.m. 10:00 a.m. 3:00 p.m. 8:00 p.m.  ocurre 4 veces al día

Taller 3

1.       Calcular el mínimo común múltiplo de los siguientes números

a.       12, 36,72

b.       960,768, 1728

c.       896, 2432,3456

d.       1260, 900,2520, 3420

e.       450, 3600, 2700, 5830, 8100

2.       Resolver las siguientes situaciones

a.       En una calle se están instalando dos semáforos: uno de ellos se pondrá en verde cada 3 minutos y el otro, cada 5 minutos. Una vez se conectan los semáforos, ¿cuánto tiempo tardarán en ponerse en verde al mismo tiempo por primera vez?

b.       Jaime está practicando al béisbol con dos lanzadoras de bolas y su hermana Laura está anotando los resultados. Como de momento Jaime no ha fallado ningún tiro, Laura programa las lanzadoras para que una dispare cada 12 segundos y la otra, cada 16 segundos. ¿Cuánto tiempo tardarán las máquinas en lanzar una bola al mismo tiempo por primera vez?

c.       El auto que se va a comprar Pablo necesita que un cambio de aceite cada 40.000km y de neumáticos cada 90.000km. ¿En cuántos kilómetros coincidirá por primera vez el cambio de aceite y de neumáticos?

d.       Juan y Marta van a correr alrededor de una urbanización de su ciudad. Juan tarda 16 minutos en dar una vuelta completa y Marta tarda 24 minutos. Cuando coincidan en la salida por primera vez, ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno?

e.       Marta quiere comprar lápices de color verde y morado. Los lápices verdes van en cajas de 100 unidades, mientras que los morados van en cajas de 40. ¿Cuál es el mínimo número de cajas de cada color que debe comprar Marta para tener el mismo número de lápices de ambos colores?

f.        Pablo tarda 3030 minutos en dar una vuelta completa al circuito con su moto y Alberto tarda 2828 minutos. Si los dos motoristas salen de la misma línea y al mismo tiempo, ¿cuándo se encontrarán de nuevo en la línea de salida por primera vez?

g.       Si los tornillos se venden en cajas de 5050 unidades y las tuercas en cajas de 4545, ¿cuántas cajas de cada tenemos que comprar para tener una rosca por cada tornillo?

h.       En una parada de autobús pasa un autobús que va al centro de la ciudad, otro que va al centro comercial y otro que va al aeropuerto. El primero pasa cada 1515 minutos, el segundo pasa cada 1818 y el tercero pasa cada 66. ¿Cuántas veces al día coinciden los tres autobuses en la parada?

FECHA DE ENTREGA 26 ABRIL

 Criterios de divisibilidad

Podemos saber fácilmente si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división, observando estas características:

•        Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8.

•        En los múltiplos de 3 si sumamos el valor individual de sus cifras resulta también un múltiplo de 3.

•        Los múltiplos de 5 terminan en 0 o 5.

•        Los múltiplos de 6 deben cumplir las características de 2 y de 3

•        En los múltiplos de 9 si sumamos el valor individual de sus cifras resulta también un múltiplo de 9.

•        Los múltiplos de 10 terminan en 0.

•        En los múltiplos de 11 si sumamos los valores individuales de las cifras que están en posiciones par, aparte sumamos los valores individuales de las cifras que están en posiciones impar, restamos esas cantidades nos da un múltiplo de 11, el 0 también lo es.

 

Números primos y compuestos

Al comprobar cuántos divisores tienen los números observamos que:

El 1 es el único número que solamente tiene un divisor, por eso es un número especial. El 0 tiene infinito número de divisores, ya que todos los números son divisores de 0, también es un número especial. Los demás números pueden ocurrir dos casos que tengan sólo 2 divisores, el 1 y el mismo número, o que tengan más.

• Los números primos son los que tienen dos divisores, que son el 1 y el mismo número primo.

• Los números compuestos son los que tienen más de dos divisores, son los más frecuentes.

 Obtención de números primos No existe un método directo para obtener sistemáticamente todos los números primos.

Ejemplos de números compuestos

Taller 2

1.      Eratóstenes fue un antiguo matemático griego que ideó una forma de identificar los números primos, conocida como “Criba de Eratóstenes”. Se basa en eliminar de una lista de números todos los que sean compuestos. Una vez acabado el proceso, los números que queden sin descartar serán primos. Encierra el número 2 y tacha todos sus múltiplos. Luego, hazlo con el siguiente número (que no esté tachado) y tacha sus múltiplos. Sigue así hasta que todos los números estén encerrados o tachados.

2.      Determina los factores de cada número como en el ejemplo y luego clasifícalos como PRIMO o COMPUESTO, según corresponda.

a.      125

b.      769

c.       345

d.      896

e.      190

f.        601

g.      1280

h.      562

i.        4032

j.        4704

3.      Completa la descomposición en factores primos

4.      En un bingo, el animador ya ha cantado 6 números y Viviana ha acertado en los números que están encerrados en el siguiente cartón.

a. ¿Qué tipo de números ha marcado Viviana? ¿Tienen alguna característica especial?

b. Si el séptimo número que canta el animador es un número compuesto, ¿Qué número podría marcar Viviana?

5.      Colorea con azul los números primos y con verde los números compuestos.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

 

6.      ¿Cuál es la descomposición en factores primos de 150?

7.      Analiza la siguiente información y luego responde.

a.      Descompón en factores primos el número 42.

b.      ¿De cuántas maneras se puede descomponer multiplicativamente el numero 42?

c.       Escribe tu estrategia para determinar todas las descomposiciones multiplicativas del número 42. ¿La podrías aplicar a cualquier número?

d.      Descompón de tres maneras el número 90.

e.      ¿Todos los números naturales se pueden descomponer multiplicativamente? Explica.

8.      Analiza si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica en cada caso.

a.      ___ El número 19 no es primo porque la cifra de las unidades es 9.

b.      ___ Todos los números impares son primos.

c.       ___ No existen números primos cuya cifra de las unidades sea 0.

d.      ___ El 1 es el único número natural que tiene solo un divisor.

e.      ___ Todos los números cuya cifra de las unidades es 1 son primos.

9.      Responde las siguientes preguntas:

a.      ¿Cuántos números primos pares hay? ¿Cuál o cuáles son?

b.      ¿Cuál es el numero cuyos divisores son 3, 6, 9, 2, además del 1 y el mismo?

c.       El producto de dos números primos, ¿es primo o compuesto?

d.      ¿Existen números primos de más de una cifra cuya cifra de las unidades sea 5?

e.      ¿Hay números primos cuya suma de sus cifras sea 9?

f.        ¿Todos los números primos son impares?

10.      Resuelve los siguientes problemas.

a.   Martin tiene 97 llaveros y los quiere repartir en bolsas de igual cantidad. Si en cada bolsa pone más de uno, .de cuantas maneras podrá realizar la repartición? Justifica.

 

b.      Javier confecciona chalecos y para transportarlos tiene que guardarlos en cajas que contengan igual cantidad de estos. Si tiene 63 chalecos, .es posible hacerlo? Justifica.

 

c.       Antonio dice que la descomposición en factores primos del número 297 es 3 x 9 x 11. ¿Es correcto lo que dice Antonio?

 d.      En un curso hay 16 niños y 20 niñas. Para un trabajo se deben formar grupos, de manera que todos tengan la misma cantidad de niños y de niñas. ¿De qué manera se podrán organizar los grupos?

11.      Trabaja al igual que Eratóstenes tachando en cada lista los números que sean compuestos. Al terminar encierra los números primos que encontraste en cada lista.

ACTIVIDAD LUDICA 2 

ENTREGA DE TALLER 19 DE ABRIL