Criterios de divisibilidad

Podemos saber fácilmente si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división, observando estas características:

• Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8.

• En los múltiplos de 3 si sumamos el valor individual de sus cifras resulta también un múltiplo de 3.

• Los múltiplos de 5 terminan en 0 o 5.

• Los múltiplos de 6 deben cumplir las características de 2 y de 3

• En los múltiplos de 9 si sumamos el valor individual de sus cifras resulta también un múltiplo de 9.

• Los múltiplos de 10 terminan en 0.

• En los múltiplos de 11 si sumamos los valores individuales de las cifras que están en posiciones par, aparte sumamos los valores individuales de las cifras que están en posiciones impar, restamos esas cantidades nos da un múltiplo de 11, el 0 también lo es.

Números primos y compuestos

Al comprobar cuántos divisores tienen los números observamos que:

El 1 es el único número que solamente tiene un divisor, por eso es un número especial. El 0 tiene infinito número de divisores, ya que todos los números son divisores de 0, también es un número especial. Los demás números pueden ocurrir dos casos que tengan sólo 2 divisores, el 1 y el mismo número, o que tengan más.

• Los números primos son los que tienen dos divisores, que son el 1 y el mismo número primo.

• Los números compuestos son los que tienen más de dos divisores, son los más frecuentes.

Obtención de números primos No existe un método directo para obtener sistemáticamente todos los números primos.

Ejemplos de números compuestos

Taller 2

1. Eratóstenes fue un antiguo matemático griego que ideó una forma de identificar los números primos, conocida como “Criba de Eratóstenes”. Se basa en eliminar de una lista de números todos los que sean compuestos. Una vez acabado el proceso, los números que queden sin descartar serán primos. Encierra el número 2 y tacha todos sus múltiplos. Luego, hazlo con el siguiente número (que no esté tachado) y tacha sus múltiplos. Sigue así hasta que todos los números estén encerrados o tachados.

2. Determina los factores de cada número como en el ejemplo y luego clasifícalos como PRIMO o COMPUESTO, según corresponda.

a. 125

b. 769

c. 345

d. 896

e. 190

f. 601

g. 1280

h. 562

i. 4032

j. 4704

3. Completa la descomposición en factores primos

4. En un bingo, el animador ya ha cantado 6 números y Viviana ha acertado en los números que están encerrados en el siguiente cartón.

a. ¿Qué tipo de números ha marcado Viviana? ¿Tienen alguna característica especial?

b. Si el séptimo número que canta el animador es un número compuesto, ¿Qué número podría marcar Viviana?

5. Colorea con azul los números primos y con verde los números compuestos.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

6. ¿Cuál es la descomposición en factores primos de 150?

7. Analiza la siguiente información y luego responde.

a. Descompón en factores primos el número 42.

b. ¿De cuántas maneras se puede descomponer multiplicativamente el numero 42?

c. Escribe tu estrategia para determinar todas las descomposiciones multiplicativas del número 42. ¿La podrías aplicar a cualquier número?

d. Descompón de tres maneras el número 90.

e. ¿Todos los números naturales se pueden descomponer multiplicativamente? Explica.

8. Analiza si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica en cada caso.

a. ___ El número 19 no es primo porque la cifra de las unidades es 9.

b. ___ Todos los números impares son primos.

c. ___ No existen números primos cuya cifra de las unidades sea 0.

d. ___ El 1 es el único número natural que tiene solo un divisor.

e. ___ Todos los números cuya cifra de las unidades es 1 son primos.

9. Responde las siguientes preguntas:

a. ¿Cuántos números primos pares hay? ¿Cuál o cuáles son?

b. ¿Cuál es el numero cuyos divisores son 3, 6, 9, 2, además del 1 y el mismo?

c. El producto de dos números primos, ¿es primo o compuesto?

d. ¿Existen números primos de más de una cifra cuya cifra de las unidades sea 5?

e. ¿Hay números primos cuya suma de sus cifras sea 9?

f. ¿Todos los números primos son impares?

10. Resuelve los siguientes problemas.

a. Martin tiene 97 llaveros y los quiere repartir en bolsas de igual cantidad. Si en cada bolsa pone más de uno, .de cuantas maneras podrá realizar la repartición? Justifica.

b. Javier confecciona chalecos y para transportarlos tiene que guardarlos en cajas que contengan igual cantidad de estos. Si tiene 63 chalecos, .es posible hacerlo? Justifica.

c. Antonio dice que la descomposición en factores primos del número 297 es 3 x 9 x 11. ¿Es correcto lo que dice Antonio?

d. En un curso hay 16 niños y 20 niñas. Para un trabajo se deben formar grupos, de manera que todos tengan la misma cantidad de niños y de niñas. ¿De qué manera se podrán organizar los grupos?

11. Trabaja al igual que Eratóstenes tachando en cada lista los números que sean compuestos. Al terminar encierra los números primos que encontraste en cada lista.